第一讲向量的线性运算（1.1~1.3节）

一、引言

各位未来的数学工作者们，大家早上好．我们这门课叫空间解析几何，是数学专业本科生的一门专业基础课。我们使用的教材是吕林根老师编写的《解析几何》（第四版），由高教出版社出版。另外推荐两本参考书：丘维声的《解析几何》（第三版）和尤承业的《解析几何》，二者都是北大出版社出版的。

今天是我们空间解析几何的第一次课．我们就从第一章说起．第一章的核心其实是在讲向量空间．它又可以分成两部分，后五节讲的是向量空间的度量结构，前五节讲的是向量空间的线性结构．

前五节线性结构又可以分为两部分：1.1节-1.3节讨论线性运算，1.4节-1.5节讨论线性关系与坐标系．

graph LR; A("第一章向量和坐标")-->B("1.1节~1.5节线性结构"); B-->C("1.1节~1.3节线性运算"); B-->D("1.4节~1.5节线性关系与坐标系"); A-->E("1.6节~1.10节度量结构"); E-->F("内积、外积、混合积、双重外积");

这次课我们讨论向量的线性运算，主要内容包括：向量的定义，向量的加法，向量的数乘．

有同学可能有想法了：我们在中学已经学过了这些内容了啊

既然如此，那么就请你们思考几个问题吧：

1.1. 思考

在高中所学的解析几何里，最重要的内容是什么？

学生答：圆锥曲线

这些圆锥曲线的方程是建立在什么坐标系下的？

学生答：平面直角坐标系

平面直角坐标系是什么样的？

学生答：两条相互垂直的数轴，垂足是原点，两条数轴的单位长度一样．

如果两个坐标轴不垂直会怎么样？

教师答：对某些问题而言不垂直的坐标轴反而更方便

如果两个坐标轴上的单位长度不相等会怎么样？

教师答：两个单位长度必须一样吗？如果不影响问题的解决，也许会更有利哦

在立体空间中能不能建立坐标系？能建立什么样的坐标系？

教师答：高中学过空间直角坐标系，但它同样不是惟一的选择

为什么平面上的坐标系有两个坐标轴，而立体空间中的坐标系有三个坐标轴？

教师答：有同学说因为平面是2维的，立体是3维的．那么什么叫2维，什么叫3维？`

超越我们直观体验的4维空间、5维空间、甚至 $n$ 维空间应该如何刻画呢？

教师答：所有这些问题归根结底都是坐标系的问题！

1.2. 关键问题

那么对于上述纷繁复杂的各种坐标系，我们能否建立一个严密而又统一的数学理论，来回答如下问题呢：

坐标系为什么可以建立起来？又是如何建立起来的呢？

这其实是我们第一章前五节所要解决的根本问题．

要想解决这个问题，我们首先应该思考一下：我们要用坐标系来干什么？或者说，坐标系的本质作用是什么？比如平面坐标系，它究竟起了什么作用？

[讨论后，教师回答]它的作用在于使用有限手段，也就是两个参数，来描述平面上任何一个点．而平面上的点，也就是平面上的位置．平面上有多少个位置呢？无限多个．所以坐标系的本质作用在于以有限描述无限．描述无限个什么？无限个位置！

那么，我们在日常生活中是如何描述某个位置的呢？

1.3. 一个问路问题

比如，你现在正在下图中的 $A$ 点处沿着马路向东行走，这时候有个人向你问路，问你 $B$ 怎么走．你会怎么描述 $B$ 的位置呢？

问路问题

你可能会说：顺着我走的这个方向，见到第一个十字路口左拐，一直走，等见到三叉路口了就右拐，走到头就看到 $B$ 了．

也就是这个路线：

问路问题

实际上，如果以 $A$ 为参考点，我们可以使用这个方式描述出这个地图中任何一点的位置．那么我们使用的是什么方式呢？

我们无非是使用了几条首尾相接的有向线段，这就是你们中学所学过的向量

那么，在描述点的位置时，为什么我们不直接用点呢？

点有一个致命的问题，点的集合是松散的、没有结构的，点与点的相互关系必须借助于其他几何对象实现．而向量则不同．某些向量的集合，它们在直观上带有一种结构．以上图为例，我们实际要得到的是 $B$ 的位置，实际上我们本来只需要向量 $\overrightarrow{AB}$ 就够了，但是城市交通让我们不能沿直线到达 $B$ ，于是我们使用了向量 $\overrightarrow{AC}$ 、 $\overrightarrow{CD}$ 和 $\overrightarrow{DB}$ ．事实上，这三个向量恰好等效于向量 $\overrightarrow{AB}$ ，这正是我们中学所学过的向量加法．换句话说，向量之间的运算，将不同向量联系了起来，从而使向量的集合产生了结构．即，运算产生了结构．

问路问题

我们这里要探讨坐标系是如何构造起来的，我们需要研究的运算有两种，其一就是上面提到的向量加法．但是只有向量加法，我们并不能实现以有限描述无限．我们还需要一种运算，就是你们中学所学的向量数乘．这两种运算合称线性运算．这次课我们将系统地回顾和学习向量的加法与数乘这两种线性运算．下次课我们就要探究一下，线性运算是如何实现以有限描述无限的．

首先我们从向量的定义开始，虽然你们中学已经学过，但是我们的数学是需要体系化的，任何一个概念，如果它众所周知，那么我们可以将其作为基本概念，而不加定义，比如，点、直线、平面；而其他概念，则都应该从定义出发．

向量，就是既有大小又有方向的量．更具体一点说，在我们空间解析几何这门课上，向量就是用有向线段来表示的，而有向线段的起点和终点分别就是对应向量的起点和终点．那么接下来，如何书写向量呢？课本上使用了粗体的英文字母，但是我要求你们手写的时候，必须给它头上戴上箭头，例如 $\vec{a}$ ，否则将无法与实数相区分．如果已经明确了起点和终点，我们还可以用起点和终点表示向量，同样地，必须戴上箭头，例如 $\overrightarrow{AB}$ ．

我们刚才说了向量是既有大小又有方向的量，一个向量的大小，也被称为向量的模，也就是对应有向线段的长度，因此也称为向量的长度．向量 $\vec{a}$ 的模，记作 $|\vec{a}|$ ．

模为零的向量叫做零向量，记作 $\vec{0}$ ，其方向任意，不确定

模为1的向量叫做单位向量，向量 $\vec{a}$ 方向上的单位向量记作 $\vec{a}^0$

2.2. 共线与共面

前面说到，模和方向是向量的两大要素，所以我们作如下定义．

模相等、方向相同的两个向量为相等的向量；而模相等、方向相反的两个向量则叫做相反向量，其中一个称为另一个的反向量，向量 $\vec{a}$ 的反向量记作 $-\vec{a}$ ．

由向量相等的定义可以看出：平移不改变向量．所以对两个向量而言，平行和共线是一回事．

一般来说，平行于同一直线的一组向量叫做共线向量；平行于同一平面的一组向量叫做共面向量．对于这二者，后面我们会给出更深刻的刻画．

由于零向量方向不定，所以零向量可以和任何共线的向量组共线，也可以和任何共面的向量组共面．

三、向量的加法

我们在前面的“问路问题”中，已经见识过了向量的加法．下面给出严格的定义．

3.1. 向量加法的定义

设已知向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 以及空间中任意一点 $O$ ．作 $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$ ， $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$ ．记向量 $\overrightarrow{OB}=\vec{c}$ ．我们定义 $\vec{c}$ 叫做 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的和，记作 $\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}$ ．

向量加法的上述定义也称为向量加法的三角形法则．

如果我们不是将向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 首尾相接，而是将它们的起点归结于一点，我们很容易证明下面的平行四边形法则．

定理 1.2.1 （向量加法的平行四边形法则）如果以两个向量 $\overrightarrow{OA}$ 和 $\overrightarrow{OB}$ 为邻边作平行四边形 $OACB$ ，那么对角线向量 $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$ ．

3.2. 向量加法的运算律

从向量加法的定义（即三角形法则）和平行四边形法则出发，可以很容易证明，向量加法满足如下四条运算律．

定理 1.2.2 （向量加法的运算律）

交换律： $\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$ ；

结合律： $(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$ ；

零向量律： $\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}$ ；

反向量律： $\vec{a}+(-\vec{a})=\vec{0}$ ．

需要指出的一点是，运算不是天然的，是我们定义出来，所以运算律也不是天然的，应该由定义和其他已知理论证明出来．我们第四次课就会遇到不满足交换律和结合律的运算，所以建议大家课下自行证明这四个运算律．

尤其需要指出的是结合律．由于结合律的成立，所以多个向量求和的时候可以不加括号．也是因为结合律的成立，多个向量求和事实上满足多边形法则．

多个向量求和的多边形法则 设 $\overrightarrow{OA_1}=\overrightarrow{a_1}$ ， $\overrightarrow{A_1A_2}=\overrightarrow{a_2}$ ，...， $\overrightarrow{A_{n-1}A_n}=\overrightarrow{a_n}$ ．那么
$\overrightarrow{a_1}+\overrightarrow{a_2}+\dots+\overrightarrow{a_n}=\overrightarrow{OA_n}.$

它之所以成立，是因为我们可以逐次使用三角形法则．

3.3. 向量减法

既然有了向量加法的定义，我们可以将向量减法定义为向量加法的逆运算，即：

如果 $\vec{b}+\vec{c}=\vec{a}$ ，那么我们就定义 $\vec{c}$ 为 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的差，记作 $\vec{c}=\vec{a}-\vec{b}$ ，并且称运算 $\vec{a}-\vec{b}$ 为向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的减法．

上述向量减法的定义也称为向量减法的三角形法则，只需要记住：

两个向量的差总是指向被减向量．

由于向量加法和减法都满足三角形法则，而三角形的一边之长小于等于另外两边长度之和，因而我们有如下不等式．

三角不等式
$|\vec{a}\pm\vec{b}|\le |\vec{a}|+|\vec{b}|.$

借助于向量减法的定义和向量加法的运算律，我们可以证明如下结论．

向量减法与反向量加法的等效性
$\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b}).$

证明. 设 $\vec{c}=\vec{a}-\vec{b}$ ．
由向量减法的定义可知： $\vec{c}+\vec{b}=\vec{a}.$
等式两边同时加上 $(-\vec{b})$ ，再由向量加法的结合律可知：
$\vec{c}+(\vec{b}+(-\vec{b}))=\vec{a}+(-\vec{b}).$ 由反向量律和零向量律可知： $\vec{c}=\vec{a}+(-\vec{b})$ ． $\Box$

我们之所以要将如此显而易见的结论的证明写下来，是为了向大家强调几件事：

看似平凡而直观的结论，其证明未必是平凡的，它甚至可能是错的．数学专业的学生应该养成严谨的治学态度．
证明的书写是有一定格式的．我们要求：
- 以“证明”二字开始，随后有一个点（注意不是冒号）．
- 以 $\Box$ 结束， $\Box$ 是证明结束的标志，它表示这之后的文本与此证明无关．
- 凡是命题中没有出现的名称，应该设出，例如上述证明中的 $\vec{c}$ ．
- 凡是添加新的操作，如辅助线等，必须以文字明确说明，禁止仅以“如图所示”等含糊的话语说明．
禁止一切形式的“循环论证”．
最后，数学证明是严谨的演绎推理．证明中每一个小结论的出现，必须要有“三段论”，即
- 大前提（所依据的理论，必须是已经证明过的正确的理论而非你的臆想）
- 小前提（条件）
- 结论．
其中，大前提或小前提可以酌情省略．

另外，这个证明还告诉我们一件有趣的事情：

向量等式可以移项．

四、向量的数乘

前面我们已经讲向量的加法，这是两种线性运算之一．
但是只有向量加法，并不能实现我们以有限描述无限的目的，我们还需要第二种线性运算，那就是向量的数乘．

4.1. 向量数乘的定义

设 $\lambda$ 是一个实数， $\vec{a}$ 是一个向量．我们构造一个新向量 $\vec{b}$ ，满足

$|\vec{b}|=|\lambda|\cdot|\vec{a}|$ ；

当 $\lambda>0$ 时， $\vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 同向；当 $\lambda<0$ 时， $\vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 反向．

那么，我们就说 $\vec{b}$ 是 $\lambda$ 和 $\vec{a}$ 的数乘，记作 $\vec{b}=\lambda\vec{a}$ ．

使用向量数乘的定义，我们还能得到一个意外收获，那就是前面提到的向量 $\vec{a}^0$ ，它是非零向量 $\vec{a}$ 方向上的单位向量．借助向量数乘的定义，我们可以得到如下刻画．

非零向量的单位化 若 $\vec{a}$ 是非零向量，那么 $\vec{a}^0=|\vec{a}|^{-1}\vec{a}.$

4.2. 向量数乘的运算律

与向量加法类似地，向量数乘也满足四条运算律．

定理1.3.1（向量数乘的运算律） 向量数乘满足如下运算律：

幺律： $1\cdot \vec{a}=\vec{a}$ ；

结合律： $\lambda(\mu\vec{a})=(\lambda\mu)\vec{a}$ ；

第一分配律： $(\lambda+\mu)\vec{a}=\lambda\vec{a}+\mu\vec{a}$ ；

第二分配律： $\lambda(\vec{a}+\vec{b})=\lambda\vec{a}+\lambda\vec{b}$ ．

前三条运算律非常简单，请大家课下自行证明。需要指出的是，使用向量数乘的结合律以及非零向量的单位化，我们还能得到向量数乘的一个基本性质．

向量数乘的基本性质 若 $\vec{a}\parallel\vec{b}$ 且 $\vec{a}$ 非零．那么存在唯一的实数 $\lambda$ ，使得 $\vec{b}=\lambda\vec{a}$ ．

证明. （存在性）因为 $\vec{a}\ne\vec{0}$ ，所以 $|\vec{a}|\ne 0$ 。因为 $\vec{a}\parallel\vec{b}$ ，所以 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 同向或反向。

如果 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 同向，则取 $\lambda=|\vec{b}|\cdot|\vec{a}|^{-1}$ ，那么 $\lambda\vec{a}=(|\vec{b}|\cdot|\vec{a}|^{-1})\vec{a}=|\vec{b}|\cdot(|\vec{a}|^{-1}\vec{a})=|\vec{b}|\vec{a}^0=|\vec{b}|\vec{b}^0=\vec{b}$ .

如果 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 反向，则取 $\lambda=-|\vec{b}|\cdot|\vec{a}|^{-1}$ ，那么 $\lambda\vec{a}=(-|\vec{b}|\cdot|\vec{a}|^{-1})\vec{a}=-|\vec{b}|\cdot(|\vec{a}|^{-1}\vec{a})=-|\vec{b}|\vec{a}^0=|\vec{b}|\vec{b}^0=\vec{b}$ .

（唯一性）假设存在两个不同实数 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ ，使得 $\vec{b}=\lambda_1\vec{a}$ 并且 $\vec{b}=\lambda_2\vec{a}$ ，二式作差可得： $\vec{0}=(\lambda_1-\lambda_2)\vec{a}$ ，但 $\vec{a}\ne\vec{0}$ ，所以 $\lambda_1=\lambda_2$ . $\Box$

思考：条件“ $\vec{a}$ 非零”能否省略？如果删除了这个条件会在什么地方出问题？
答：假如 $\vec{a}$ 是零向量而 $\vec{b}$ 不是零向量，那么这里的实数 $\lambda$ 显然无法找到．

下面我们给出第二分配律的证明．

证明. 当 $\lambda=0$ 、 $\vec{a}=\vec{0}$ 或 $\vec{b}=\vec{0}$ 时，结论是平凡的．我们不妨设上述三者都非零．如果 $\vec{a}\parallel\vec{b}$ ，由于 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 都不是零向量，所以由数乘的基本性质可知，存在实数 $\mu$ ，使得 $\vec{b}=\mu\vec{a}$ ，所以 $\lambda(\vec{a}+\vec{b})=\lambda(\vec{a}+\mu\vec{a})$ ．由第一分配律可知，此式 $=\lambda[(1+\mu)\vec{a}]$ ．由结合律可得，上式 $=(\lambda+\lambda\mu)\vec{a}$ ．由第一分配律可知，上式 $=\lambda\vec{a}+\lambda\mu\vec{a}=\lambda\vec{a}+\lambda\vec{b}$ ．以下我们只需考虑 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 不共线的情况．

设 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 不共线．令 $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$ ， $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$ ，那么 $OAB$ 构成一个三角形，所以 $\overrightarrow{OB}=\vec{a}+\vec{b}$ ．不妨设 $\lambda>0$ ．延长 $OA$ 至 $A_1$ 使得 $\overrightarrow{OA_1}=\lambda\overrightarrow{OA}=\lambda\vec{a}$ ，延长 $OB$ 至 $B_1$ 使得 $\overrightarrow{OB_1}=\lambda\overrightarrow{OB}=\lambda(\vec{a}+\vec{b})$ ，连接 $A_1B_1$ （见下图）．那么 $\triangle OAB$ 与 $\triangle OA_1B_1$ 相似．所以 $AB\parallel A_1B_1$ ，所以 $\overrightarrow{A_1B_1}=\lambda\vec{b}$ ．因此， $\lambda(\vec{a}+\vec{b})=\overrightarrow{OB_1}=\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{A_1B_1}=\lambda\vec{a}+\lambda\vec{b}$ . $\Box$

我们的证明中使用了不妨设这个词，它表示不妨设后面的内容不影响证明，或者不妨设所隐藏的证明与我们所写出的证明相似．例如我们的证明中，只是讨论了 $\lambda>0$ 的情况，实际上 $\lambda<0$ 的情况与此类似．请大家课下自行补充相关证明．

4.3. 例题

关于向量数乘的应用，我们看一下课本例2.

例2. 使用向量法证明：三角形两边的中位线平行于第三边，且等于第三边长度的一半．

证明. 设 $\triangle ABC$ 两边 $AB$ 和 $AC$ 的中点分别为 $M$ 和 $N$ ，那么 $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN})=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC})=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}.$ 由数乘的定义和性质可知， $\overrightarrow{MN}\parallel\overrightarrow{BC}$ 且 $|\overrightarrow{MN}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{BC}|$ ． $\Box$

请大家课下自行证明1.1节-1.3节的其他例题．

五、小结

关键问题
核心概念
两种运算
- 定义、性质、运算律
- 合称线性运算

线性运算是坐标系得以建立的根本原因，下一讲我们将探究如何使用线性运算掌控无限个向量，从而建立起坐标系．

作业

13页：2（2）（3），3
14页：6，10

思考题

14页：12，13

好好学习，天天向上．做好作业，下次再见！

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第一讲向量的线性运算（1.1~1.3节）

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